Wacław Sierpiński (1882 - 1969)

Wpracy tej uzyskał sensacyjne ulepszenie wyniku Gaussa, dotyczacego liczby punktów kratowych w kole o coraz wiekszym promieniu. Po powrocie do Warszawy wykładał matematyke wyzsza na tzw. Kursach Naukowych, bedacych namiastka polskiego uniwersytetu. W 1907 roku spedził kilka miesiecy w Getyndze, gdzie zapoznawał sie z teoria zbiorów, zwana tradycyjnie po polsku teoria mnogosci, nowym działem matematyki stworzonym przez Georga Cantora w latach 1870–1890. Habilitował sie w 1908 roku na Uniwersytecie Lwowskim, a rok pózniej rozpoczał systematyczny (pierwszy w skali swiatowej) wykład z teorii mnogosci. W 1910 roku został mianowany profesorem nadzwyczajnym Uniwersytetu Jana Kazimierza we Lwowie.

Potezny jest wkład Wacława Sierpinskiego w rozwój matematyki polskiej u zarania odzyskanej niepodległosci, w całym okresie miedzywojennym oraz po wojnie. Przy tym jego determinacja i zdolnosci zjednywania sobie współpracowników przyczyniły sie do utworzenia grup wybitnych matematyków pracujacych zarówno w Warszawie jak i we Lwowie. Uczniami Sierpinskiego w okresie miedzywojennym byli miedzy innymi Stefana Mazurkiewicz, Edward Marczewski, Otton Nikodym oraz Kazimierz Zarankiewicz. Obok Zygmunta Janiszewskiego i Stefana Mazurkiewicza był Sierpinski jednym z załozycieli i pierwszych redaktorów Fundamenta Mathematicae – pierwszego na swiecie czasopisma matematycznego poswieconego wydzielonym działom 1 matematyki, mianowicie teorii mnogosci, topologii i logice. Trzeba dodac, ze dziedziny te były wówczas na swiecie w głównym nurcie nowoczesnej matematyki. Sierpinski walnie przyczynił sie do tego, ze mimo braku tradycji, matematyka polska wspieła sie na swiatowy poziom.

Po zakonczeniu II wojny swiatowej, jesienia 1945 roku wrócił na swa katedre do Warszawy. Pod koniec swojej kariery powrócił do teorii liczb. Jako siedemdziesiecioletni matematyk zorganizował seminarium z teorii liczb i wykształcił kilku znanych matematyków (m.in. Andrzej Schinzel, Jerzy Browkin, Andrzej Rotkiewicz). Reaktywował równiez czasopismo Acta Arithmetica, specjalnie poswiecone teorii liczb, załozone jeszcze przed wojna.

Najwazniejsze osiagniecia matematyczne Sierpinskiego dotycza teorii mnogosci. Konsekwencjom przyjecia lub odrzucenia czy to pewnika wyboru, czy
to hipotezy continuum, poswiecił osobne monografie. Zawarte w nich twierdzenia, w duzej liczbie pochodzace od samego Sierpinskiego, zyskały jeszcze na znaczeniu w swietle rezultatów K. G¨odela i P. Cohena o niezaleznosci obu faktów od pozostałych aksjomatów teorii mnogosci.

Polska i swiatowa społecznosc doceniła osiagniecia matematyczne Sierpinskiego i jego zasługi dla srodowiska matematycznego, przyznajac mu liczne doktoraty honorowe i inne wyróznienia.

Wacław Sierpinski zmarł w Warszawie w 1969 roku. Na jego nagrobku widnieje wiele mówiaca inskrypcja, której sobie zazyczył:

Badacz nieskonczonosci

Sierpiński wymyślił pierwszy na świecie fraktal, czyli figurę samopodobną. W roku 1915 zaproponował następującą konstrukcję geometryczną:

Rozważmy wyjściowy trójkąt równoboczny T₁ i połączmy środki jego boków odcinkami. Przez T₂ oznaczmy figurę, która powstaje przez usunięcie środkowego trójkącika. Następnie z każdego z pozostałych trzech małych trójkącików usuńmy bardzo małe trójkąciki środkowe – otrzymamy T₃. Kontynuujmy to postępowanie w nieskończoność i określamy

(do T należą zatem tylko te punkty, które nie zostaną wyrzucone na żadnym etapie konstrukcji).

Figurę T nazywamy trójkątem Sierpińskiego albo fraktalem Sierpińskiego (są też w użyciu określenia uszczelka S., sito S.) Nie ma na świecie matematyka, który by jej nie znał.

Oto niektóre z jej zadziwiajacych własnosci:

1. chociaż T powstała na płaszczyznie z pełnego trójkata ma pole (scislej 2–wymiarowa miare Lebesgue’a) 0,
2. T jest samopodobna tzn. z dowolnie małej jej cześci można odtworzyć oryginalny kształt całości,
3. przeskalowanie przez 2 prowadzi do figury podobnej, która składa sie z 3 oryginalnych figur (odpowiednie przeskalowanie kwadratu prowadzi do wiekszego kwadratu o 4 = 2² razy wiekszym polu, który składa sie z 4 oryginalnych kwadratów; dla sześcianu do powstania sześcianu o objetosci 8 = 2³ razy wiekszej złożonego z 8 oryginalnych szescianów – dwie warstwy po 4 szesciany). Zatem T nie jest zwykła figura płaska, gdyż 3 < 4. Jest czymś pośrednim miedzy prawdziwie 1–wymiarowa krzywa, a prawdziwie 2–wymiarowa figura płaska. Jesli oznaczymy jej prawdziwy wymiar przez d to powinno zachodzić 2^d = 3 i stad d = log₂ 3 ≈ 1, 585.

To wszystko daje sie uścislic i odczarować nadużywane powyżej słowo prawdziwie: powiemy wtedy, ze wymiar Hausdorffa trójkata Sierpińskiego wynosi d = log₂ 3 ≈ 1, 585. Z filozoficznego punktu widzenia ten ułamkowy wymiar to chyba duzo wiecej niz czwarty wymiar! Trzeba również dodać, że w 1915 roku nikt nie myslał systematycznie o fraktalach (w ogóle nie była znana ta nazwa) – konstrukcje Sierpińskiego powyższej i podobnych figur samopodobnych miały więc charakter wizjonerski. Dopiero w latach 70-tych Benoit Mandelbrot stworzył systematyczna teorie takich figur i zaproponował nazwe fraktal, która sie przyjeła.

Problem punktów kratowych w kole (Gauss)

Niech K(r) = { (x,y) E R² : x² +y² < r² } będzie kołem o promieniu r > 0 i środku w początku układu współrzędnych (0, 0). Niech ponadto N(r) oznacza liczbę punktów kratowych w tym kole tzn. liczbe par liczb całkowitych (x, y) spełniających nierówność x² + y² < r².

Gauss wykazał, ze N(r) przybliza pole koła K(r) coraz lepiej – wraz ze wzrostem r maleje błąd procentowy przybliżenia πr² ≈ N(r). Dokładniej, Gauss udowodnił, ze ten błąd jest ograniczony przez Cr, gdzie C > 0 jest pewna stałą. Jak wiadomo długość okregu o promieniu r wynosi 2πr, a zatem wynik Gaussa można wypowiedzieć tak: zastąpienie dokładnej liczby punktów kratowych w kole przez pole tego koła powoduje bład rzedu nie wiekszego niz długosc tego okregu. Jest to dość intuicyjne, gdyż niektóre kwadraciki jednostkowe o środkach w punktach kratowych leżą całkowicie wewnątrz koła, niektóre całkowicie na zewnątrz, i wreszcie niektóre (te bliskie brzegu koła) zahaczaja zarówno o wnętrze jak i zewnętrze koła. Pierwszym znaczącym wynikiem młodego Sierpińskiego uzyskanym w jego pracy licencjackiej (napisanej pod opieka G. Woronoja) było sensacyjne ulepszenie oszacowania Gaussa. Udowodnił on mianowicie, ze dla pewnej stałej C > 0 mamy nierówność

Oznacza to, ze dla dużych r błąd jest faktycznie znacznie mniejszy niż w oszacowaniu Gaussa – np. dla r = 10⁹ mamy r^2/3 = 10⁶, czyli 1000 razy mniej niż u Gaussa.

Hipoteza continuum

Na nagrobku Wacława Sierpinskiego jest nastepujaca inskrypcja, o która poprosił za zycia:

Wacław Sierpinski – badacz nieskonczonosci

Własnie badanie liczb pozaskonczonych (kardynalnych i porzadkowych) przyniosło Sierpinskiemu miedzynarodowe uznanie i sławe. Poswiecił temu oprócz wielu prac naukowych trzy monografie z których ostatnia Cardinal and Ordinal Numbers jest uaktualnieniem i poszerzeniem poprzednich. Zaprezentujemy próbke jego wyników dotyczacych tytułowej hipotezy continuum, przez wielu uwazanej za najsłynniejszy problem matematyczny – na pewno wielki David Hilbert by nie zaprzeczył, gdyz umiescił ja na pierwszym miejscu swoich Problemów w 1901 roku na Miedzynarodowym Kongresie Matematycznym w Paryzu.

Najpierw jednak wstepne przykłady i wyjasnienia. Jak stwierdzic, czy w dwóch pudełkach zapałek jest ich tyle samo? Oczywiscie mozna policzyc zapałki w obu pudełkach i porównac otrzymane liczby. Niestety ta naturalna metoda nie przenosi sie na zbiory nieskonczone. Alternatywna metoda polega na wyciaganiu po jednej zapałce z kazdego pudełka, łaczeniu je w pary i odkładaniu na bok. Gdy zapałki skoncza sie równoczesnie to oznacza to, ze zapałek w kazdym pudełku było tyle samo. W innym przypadku łatwo wywnioskowac w którym było ich mniej a w którym wiecej. Ta metoda jest lepsza, chociaz na pierwszy rzut oka jest gorsza, gdyz w przypadku, gdy uda sie połaczyc zapałki z obu pudełek w pary, to nie wiemy ile wynosi ta wspólna liczba zapałek! Potezna zaleta tej drugiej metody jest jednak to, ze przenosi sie ten pomysł na zbiory dowolne – równiez nieskonczone. Zilustrujemy to na przykładzie nastepujacych zbiorów: N = {1, 2, 3,...} (zbiór wszystkich liczb naturalnych) oraz K = {1, 4, 9 ...} (zbiór wszystkich kwadratów liczb naturalnych). Zauważmy teraz, że znana ze szkoły funkcja y = x² łączy elementy zbiorów N oraz K:

(1,1), (2,4), (3,9), ...

I tak np. liczba 7 ∈ N bedzie połaczona z liczba 49 ∈ K, a liczba 81 ∈ K bedzie połaczona z liczba 9 ∈ N. W takiej sytuacji mówimy, ze zbiory N oraz K sa równoliczne. Z tego, ze kwadratów jest tyle samo, co wszystkich liczb naturalnych zdawał sobie sprawe juz Galileusz, ale przez nastepne kilkaset lat nie było postepu. Dopiero wielki matematyk niemiecki Georg Cantor udowodnił, ze zbiory N oraz R (zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, czyli zbiór wszystkich punktów na osi liczbowej) nie sa równoliczne. Oznacza to, ze wszystkich liczb naturalnych nie mozna połaczyc w pary z wszystkimi liczbami rzeczywistymi – Cantor pokazał własciwie, ze przy kazdej próbie takiego sparowania na pewno pozostana jakies wolne liczby rzeczywiste. Mozna to zinterpretowac nastepujaco: chociaz oba zbiory N oraz R sa nieskonczone to nieskonczonosc zwiazana z R jest jakby wieksza od nieskonczonosci zwiazanej z N. Cantor sformułował równiez nastepujaca hipoteze, która zaprzatała umysły matematyków przez najblizsze kilkadziesiat lat:

Hipoteza continuum (HC) Każdy podzbiór nieskończony A zbioru R jest równoliczny albo z N albo z całym zbiorem R.

Można ja też wysłowić bardziej poglądowo, ale mniej ścisle, ze nieskończoności związane z N oraz z R to najmniejsze liczby pozaskończone. Uścislenie uzyskuje sie wprowadzając pojecie liczby kardynalnej, które uogólnia liczbe elementów w zbiorze skonczonym.

Oczywiscie dla pewnych konkretnych zbiorów A rozstrzygnieto, który przypadek dla nich zachodzi. I tak np. gdy A jest zbiorem wszystkich liczb wymiernych (czyli ułamków) to A jest równoliczny z N. Natomiast, gdy A jest zbiorem wszystkich liczb niewymiernych (czyli takich, które nie daja sie przedstawic jako ułamek o całkowitych liczniku i mianowniku) to A jest równoliczne z R. Zbadano duzo bardziej skomplikowane zbiory A i zawsze okazywało sie, ze zachodzi jeden z dwóch przypadków przewidywanych przez Cantora. Los hipotezy continuum okazał sie niezwykły – nie została ona przez nikogo ani udowodniona ani obalona, i co wiecej Gödel i Cohen wykazali, ze nikt jej nigdy ani nie obali, ani nie udowodni! Mianowicie Gödel pokazał w 1940 roku, ze mozna ja po prostu dołaczyc do aksjomatów teorii mnogosci jako dodatkowy aksjomat i otrzymamy teorie bez sprzecznosci. Natomiast Cohen wykazał w 1963 roku, ze mozna tez dołaczyc do aksjomatów teorii mnogosci zaprzeczenie hipotezy continuum i tez otrzymamy teorie niesprzeczna!

Wrócmy do Wacława Sierpinskiego. Wielka jego zasługa było dogłebne zbadanie konsekwencji jakie niesie przyjecie hipotezy continuum albo jej zaprzeczenie. Z cytowanej powyzej monografii przytoczymy jedno z wielu interesujacych twierdzen Sierpinskiego:

Hipoteza continuum jest równowazna nastepujacemu twierdzeniu z elementarnej geometrii: przestrzen R³ mozna podzielic na trzy rozłaczne zbiory punktów A,B,C w taki sposób, ze kazda prosta pionowa (czyli równoległa do osi OZ) przecina figure A w skonczenie wielu punktach (lub w ogóle), kazda prosta równoległa do OX przecina B w skonczenie wielu punktach (lub w ogóle) oraz kazda prosta równoległa do OY przecina C w skonczenie wielu punktach (lub w ogóle)

W powyzszej wersji HC wg. Sierpinskiego fascynujace jest to, ze nie wystepuje w niej ani bezposrednio, ani posrednio pojecie nieskonczonosci, a przeciez bohaterami oryginalnej HC sa dwa referencyjne zbiory nieskonczone: N oraz R, i te nieskonczonosci sa w niej porównywane! Sierpinski wyrugował wiec nieskonczonosc z najsłynniejszego chyba dotyczacego jej stwierdzenia!

Jesli ktos uwaza, ze HC jest intuicyjna i powinna byc dołaczona do aksjomatów teorii mnogosci to musi konsekwentnie uznac, ze istnieje powyzszy (dosc niezwykły) podział przestrzeni (poniewaz figury A,B,C daja w sumie cała przestrzen to przynajmniej jedna z nich musi byc duza – tymczasem w jednym z kierunków równoległych do jednej z osi układu współrzednych jest ona raczej mała). Jesli ktos nie wierzy w taki podział przestrzeni to powinien uwierzyc, ze istnieje nieskonczony zbiór liczb A, który nie jest równoliczny ani z N ani z R, czyli, ze HC jest fałszywa! Trzeciej mozliwosci nie ma.