Stefan Banach (1892 - 1945)

Najsłynniejszym i najważniejszym dla świata matematycznego wynikiem Banacha było zdefiniowanie przestrzeni, noszących dziś jego imię. Zgodnie z definicją, przestrzeń Banacha to zupełna przestrzeń unormowana. Poniżej zostanie przedstawione – w sposób poglądowy i uproszczony – czym są takie przestrzenie.

Zacznijmy od pojęcia przestrzeni wektorowej. Jest to uogólnienie znanej ze szkoły płaszczyzny z wprowadzonym układem współrzędnych; wektory „zaczepione” w początku układu współrzędnych, nazywanego „zerem” przestrzeni wektorowej możemy dodawać, możemy je mnożyć przez skalary (zob. rys. 1). To samo określa się dla wektorów w dowolnej przestrzeni wektorowej.

Rys. 1

W przestrzeniach wektorowych można wprowadzić normę. Intuicyjnie – norma to „odległość końca wektora od zera” (zob. rys. 2). Jest to uogólnienie znanego ze szkoły pojęcia wartości bezwzględnej – bo zbiór liczb rzeczywistych też tworzy przestrzeń wektorową; liczby możemy traktować jako wektory „zaczepione” w zerze. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej to po prostu długość takiego wektora.

Rys. 2

Teraz przejdźmy do pojęcia zupełności. Tę można rozważać w przestrzeniach, które nie są unormowane, byleby mieć w nich określoną „odległość”. Mówiąc potocznie, przestrzeń jest zupełna, jeśli każdy ciąg jej elementów, którego elementy „zbliżają się do siebie” (gdy wyrazy ciągu dążą do nieskończoności), ma w tej przestrzeni granicę. Oto przykład. Niech badaną przestrzenią będzie przedział (0,2), czyli zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od 0 i mniejszych od 2. Nie jest to przestrzeń wektorowa, ale możemy rozważać odległość między jej elementami, czyli liczbami z tego przedziału. Przedział (0,2) nie jest przestrzenią zupełną. Weźmy bowiem ciąg o wyrazach 1/n (rys.3). Gdy zwiększamy n, wyrazy coraz bardziej zbliżają się do siebie. Ale ten ciąg nie ma w przestrzeni (0,2) granicy! Jedynym sensownym kandydatem na granicę jest liczba 0, ale ona jest poza przestrzenią (0,2).

Rys. 3

To są jednak bardzo proste przykłady. Znacznie ciekawsze, ale też i trudniejsze zagadnienia związane z przestrzeniami Banacha pojawiają się wtedy, gdy mamy do czynienia z przestrzeniami bardziej abstrakcyjnymi. Oto jeden przykład takiej przestrzeni. Rozważmy wszystkie funkcje ciągłe określone na przedziale domkniętym [0,1] o wartościach rzeczywistych (zob. rys. 3). Mówiąc potocznie i znowu upraszczając, ciągłość takiej funkcji związana jest z tym, że jej wykres możemy narysować jedną linią. Funkcje te możemy dodawać. Jeśli jedna funkcja jest dana wzorem f(x) = x², a druga wzorem g(x) = 5x, to ich suma jest dana wzorem (f+g)(x) = x²+ 5x. Jeśli jedna funkcja to kwadrat funkcji sinus, a druga to kwadrat funkcji cosinus, to ich suma jest funkcją stałą przyjmującą wszędzie wartość 1 (ze względu na jedynkę trygonometryczną). Podobnie określamy mnożenie funkcji przez skalar. W tej przestrzeni norma funkcji f to największa wartość, jaką w przedziale [0,1] może przyjąć wyrażenie |f(x)|. Norma funkcji cosinus to 1, norma funkcji danej wzorem g(x) = 5x to 5, a norma funkcji stałej przyjmującej w każdym punkcie wartość 0 to 0. Okazuje się, że opisana wyżej przestrzeń jest zupełna.

Rys. 4

Przestrzeni, których elementami są funkcje, a ważnych dla matematyki i jej zastosowań, jest bardzo dużo. Okazało się, że z punktu widzenia pewnych własności przestrzenie Banacha z jednej strony obejmowały wszystkie konkretne ważne przypadki, z drugiej zaś nie okazały się tworem zbyt ogólnym. Niezależnie od Banacha, ale nieznacznie później, analogiczną definicję sformułował wybitny matematyk amerykański, twórca cybernetyki, Norbert Wiener (1894–1964). Uznał jednak, że badania nad tak określonymi przestrzeniami nie są perspektywiczne i zajął się inną tematyką. Tymczasem Banach prace nad tymi zagadnieniami kontynuował, co doprowadziło do niezwykłego rozwoju ważnego działu matematyki – analizy funkcjonalnej.

Zobaczmy, znowu w sposób uproszczony, czym zajmuje się analiza funkcjonalna. Funkcje badane są w każdym dziale matematyki, ale z różnych punktów widzenia. Funkcje mogą być rozmaite. W szkole najczęściej spotykamy się z funkcjami liczbowymi (liczbom przypisane są liczby, jak w przypadku funkcji danej wzorem f(x) = x² czy funkcji logarytmicznej), może być jednak inaczej. Na przykład każdemu Polakowi można przyporządkować datę jego urodzenia. Analiza funkcjonalna zajmuje się funkcjonałami, czyli funkcjami, które pewnym funkcjom przyporządkowują liczby. Przykładem funkcjonału jest operacja, która każdej funkcji ciągłej określonej na przedziale [0,1] przyporządkowuje wartość tej funkcji w punkcie 0. Wtedy funkcji sinus przyporządkowana jest liczba 0, a funkcji cosinus – liczba 1.

Banach udowodnił liczne ważne twierdzenia z analizy funkcjonalnej. W szczególności, pod koniec lat dwudziestych XX wieku wykazane zostały twierdzenia, noszące obecnie nazwy: twierdzenie Banacha-Steinhausa, twierdzenie Hahna–Banacha oraz twierdzenie o wykresie domkniętym. Ogromne znaczenie miało wydanie w 1932 roku książki Banacha Théorie des opérations linéaires. W tej monografii zawarte były wszystkie znaczące wyniki dotyczące analizy funkcjonalnej, które były wówczas znane – w tym liczne fundamentalne rezultaty Banacha. Są one bardzo zaawansowane. Tu poświęcimy trochę uwagi jednemu z nich – twierdzeniu Hahna–Banacha.

W matematyce nieraz ważnym problemem okazuje się pytanie o możliwość rozszerzania funkcji określonej na mniejszym zbiorze do funkcji na zbiorze większym. Rozszerzanie polega na tym, że na tym mniejszym zbiorze mamy daną pewną funkcję i szukamy takiej funkcji określonej na zbiorze większym, by na tym mniejszym zbiorze funkcje daną i jej „rozszerzenie” się pokrywały. Dobrym przykładem są funkcje trygonometryczne. Podczas edukacji szkolnej uczeń najpierw poznaje je dla kąta w trójkącie prostokątnym, czyli dla liczb z przedziału (0,π/2), a potem okazuje się, że funkcje te można rozszerzyć na liczby rzeczywiste, przy wykorzystaniu układu współrzędnych. Jest to jednak bardzo specyficzny przypadek, bo tu można podać konkretne, naturalne rozszerzenie. Natomiast funkcji tangens nie możemy rozszerzyć do funkcji ciągłej określonej na całym zbiorze liczb rzeczywistych – gdy x zbliża się do π/2, tgx dąży do nieskończoności; nie ma możliwości takiego nadania wartości funkcji w punkcie π/2, by nowa funkcja była ciągła (rys. 5). Często rozważany jest problem: czy, jeśli mamy funkcję o pewnych własnościach określoną na mniejszym zbiorze, możemy ją rozszerzyć do funkcji o tych samych własnościach określonej na większym zbiorze? Nie chodzi o podanie konkretnego rozszerzenia, a o odpowiedź na pytanie o możliwość rozszerzenia. Pozytywną odpowiedź na to pytanie w przypadku pewnych ważnych funkcji daje twierdzenie Hahna-Banacha.

Rys. 5

Innym ciekawym wynikiem, mającym bardzo ładną interpretację, jest twierdzenie Banacha o punkcie stałym. Punktem stałym funkcji nazywamy element dziedziny, w którym wartość funkcji jest równa argumentowi. Na przykład funkcja dana wzorem f(x) = x² ma dwa punkty stałe: 0 oraz 1, bo 0² = 0, 1² =1, a dla każdej innej liczby jej kwadrat nie jest jej równy. Twierdzenia o istnieniu punktów stałych mają bardzo duże zastosowania. Banach wykazał, że pewne funkcje mają zawsze punkty stałe i te punkty są jednoznacznie określone. Ciekawą interpretacją tego twierdzenia jest, że jeśli położymy gdzieś w Polsce otwartą mapę Polski – nie kładąc żadnego jej kawałka poza granicami naszego kraju – to istnieje dokładnie jeden punkt na tej mapie leżący na punkcie w Polsce, który przez niego jest na mapie przedstawiony.

Najważniejszym wyróżnieniem za naukowe wyniki w matematyce jest Medal Fieldsa, przyznawany od 1936 roku co cztery lata dwóm, trzem lub czterem uczonym. Tego Medalu nie dostał jeszcze żaden Polak. W 1998 roku jedną z osób nagrodzonych Medalem Fieldsa był Anglik Timothy Gowers (ur. 1963). Otrzymał go przede wszystkim za swoje wyniki dotyczące przestrzeni Banacha. W szczególności, rozwiązał liczne ważne problemy, które były postawione jeszcze za życia Banacha. To pokazuje, jak ważna dla matematyki jest tematyka badań Banacha.

Stefan Banach ma na swoim koncie wiele matematycznych wyników niezwykłej wagi, dzięki którym jego nazwisko jest dziś znane praktycznie wszystkim pracującym naukowo matematykom na świecie. Dodajmy jeszcze, że na monetach Narodowego Banku Polskiego, wydanych w 2012 roku, są nawiązania do przestrzeni Banacha (dwuzłotówka), twierdzenia Hahna–Banacha (dziesięciozłotówka) i twierdzenia Banacha o punkcie stałym (moneta dwustuzłotowa) – zob. rys. 6.

Rys. 6

Biografia

Stefan Banach urodził się 30 marca 1892 w Krakowie. Był – jak wówczas wiele dzieci w Krakowie – dzieckiem nieślubnym; jego matką była Katarzyna Banach, ojcem – Stefan Greczek. Katarzyna Banach była pokojówką, Greczek wtedy służył w wojsku – bez zgody austriackich władz wojskowych żołnierz nie mógł się ożenić, a Greczek takiej zgody nie otrzymał. Banach został oddany na wychowanie właścicielce pralni w Krakowie, Franciszce Płowej, która wraz ze swą siostrzenicą Marią Puchalską opiekowała się nim do matury. Po ukończeniu IV Gimnazjum w Krakowie i zdanej w 1910 roku maturze Banach rozpoczął studia na Politechnice Lwowskiej. Interesował się matematyką, ale uważał, że na tym polu niewiele nowych wyników można będzie osiągnąć i zdecydował się kontynuować naukę na uczelni technicznej. W Krakowie wtedy takiej nie było, najbliższą była Politechnika Lwowska. Tam Banach uzyskał tzw. półdyplom. W 1914 roku wybuchła I wojna światowa i Banach wrócił do Krakowa. Wiele czasu poświęcał na dyskusje matematyczne z przyjaciółmi – Ottonem Nikodymem (1887–1974) i Witoldem Wilkoszem (1891–1941), później znakomitymi matematykami. W 1916 roku, podczas spaceru na krakowskich Plantach, młody wówczas doktor nauk matematycznych Hugo Steinhaus (1887–1972) usłyszał fragment rozmowy Banacha z Nikodymem i tak go to zainteresowało, że do ich dyskusji dołączył. W szczególności, opowiedział swoim rozmówcom o problemie, nad którym właśnie pracował, a po kilku dniach Banach przyszedł do Steinhausa i przedstawił mu rozwiązanie. Wówczas Steinhaus zorientował się, że Banach obdarzony jest niezwykłym matematycznym talentem. Później Steinhaus, który był autorem wielu znaczących wyników w matematyce, mawiał, że jego największym odkryciem było odkrycie Stefana Banacha. Steinhaus otoczył Banacha opieką naukową. W 1919 roku założono Towarzystwo Matematyczne w Krakowie, które potem, po dołączeniu do niego matematyków spoza Krakowa, zmieniło nazwę na Polskie Towarzystwo Matematyczne; Banach był jednym z członków założycieli Towarzystwa.

W 1920 roku za wstawiennictwem Steinhausa, który wtedy objął katedrę na Uniwersytecie Jana Kazimierza we Lwowie, Banach został zatrudniony jako asystent na Politechnice Lwowskiej. Również w 1920 roku Banach ożenił się z Łucją Braus (1897–1954). W czerwcu tegoż roku Banach przedstawił na Uniwersytecie Jana Kazimierza pracę doktorską. Recenzentami pracy byli Hugo Steinhaus i Eustachy Żyliński (1889–1954). W listopadzie i grudniu Banach zdał wymagane przepisami egzaminy doktorskie, a w styczniu 1921 został promowany na doktora. Jego praca doktorska O operacjach w zbiorach abstrakcyjnych z zastosowaniami do równań całkowych, w 1922 roku opublikowana pod tytułem Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales w czasopiśmie Fundamenta Mathematicae, zawierała rezultaty niezwykłej wagi. W tej pracy Banach zdefiniował przestrzenie, później nazwane przestrzeniami Banacha. W 1922 roku Banach uzyskał habilitację na Uniwersytecie Jana Kazimierza i został powołany na stanowisko profesora tego Uniwersytetu. Powierzono mu kierowanie II Katedrą Matematyki na Uniwersytecie we Lwowie. Również w 1922 roku urodził mu się syn, Stefan Banach jr (1922–1999).

W 1924 roku Banach został członkiem korespondentem Polskiej Akademii Umiejętności. W tym samym roku otrzymał stypendium Fundacji Rockefellera na roczny wyjazd do Francji. Po powrocie kontynuował pracę na Uniwersytecie w Lwowie. W 1927 roku otrzymał nominację na profesora zwyczajnego Uniwersytetu Jana Kazimierza. Pod koniec lat dwudziestych wykazał trzy twierdzenia, uznawane za fundamentalne dla działu matematyki nazywanego analizą funkcjonalną: udowodnione wspólnie ze Steinhausem – znane dziś jako twierdzenie Banacha-Steinhausa, twierdzenie Hahna–Banacha (Banach i niemiecki matematyk Hans Hahn (1879–1934) wykazali je niezależnie od siebie) oraz twierdzenie noszące dziś nazwę twierdzenia o wykresie domkniętym.

W 1928 roku Banach i Steinhaus założyli we Lwowie czasopismo matematyczne, publikujące przede wszystkim prace naukowe zawierające nowe wyniki z analizy funkcjonalnej – Studia Mathematica. Pierwszy numer tego pisma ukazał się w 1929 roku. Czasopismo wydawane jest do dziś i ma na świecie bardzo wysoką renomę. Na przełomie lat dwudziestych i trzydziestych ukazały się też podręczniki autorstwa Banacha – zarówno szkolne, jak i akademickie (w tym dwa tomy Rachunku różniczkowego i całkowego). Ogromne znaczenie miało ukazanie się jego książki Teoria operacyj. Tom I. Operacje liniowe w 1931 roku oraz francuskiej wersji tej książki Théorie des opérations linéaires, którą wydano w Warszawie w 1932 roku jako tom pierwszy serii Monografie Matematyczne. W tej monografii zawarte były – praktycznie wszystkie wówczas znane – znaczące wyniki dotyczące analizy funkcjonalnej, w tym fundamentalne twierdzenia wykazane przez Banacha. Wtedy właśnie świat matematyczny docenił ogromną rolę rezultatów Banacha oraz znaczenie przestrzeni Banacha. Wyrazem tego było między innymi zaproszenie Banacha do wygłoszenia plenarnego wykładu na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Oslo w 1936 roku. Kongresy takie odbywają się co cztery lata, są najważniejszymi konferencjami matematycznymi na świecie, na każdym kongresie przedstawianych jest wiele odczytów – zaproszenie do wygłoszenia wykładu na takim Kongresie jest dla matematyka ogromnym wyróżnieniem, a wyjątkowym zaszczytem jest zaproszenie do przedstawienia wykładu plenarnego (na każdym Międzynarodowym Kongresie Matematyków jest ich kilkanaście). Monografia Banacha przez ponad ćwierć wieku była podstawowym, najważniejszym podręcznikiem analizy funkcjonalnej.

Bardzo dużą rolę w pracy Banacha oraz w rozwoju grupy nazywanej Lwowską Szkołą Matematyczną odgrywały spotkania w kawiarni Szkockiej. Matematycy, z Banachem na czele, spotykali się tam i rozmawiali o matematyce – formułowali problemy, rozwiązywali je, notowali problemy i rozwiązania na marmurowych blatach stolików. Po pewnym czasie problemy, rozwiązania oraz nagrody fundowane za rozstrzygnięcie tych problemów były zapisywane w specjalnym zeszycie, nazwanym Księgą Szkocką. W kawiarni Szkockiej matematycy zaczęli przesiadywać w latach dwudziestych, ale pierwszy wpis w Księdze Szkockiej, dokonany przez Banacha, datuje się na 1935 rok. Po II wojnie światowej Księga Szkocka została opublikowana w języku angielskim – omówione w niej zostały również wyniki, powstałe w efekcie prac badawczych z lat późniejszych, zapoczątkowanych problemami z Księgi. Okazało się, że każdy problem z Księgi Szkockiej stał się podstawą dalszych ważnych badań. Banachowi bardzo odpowiadała atmosfera kawiarniana i świetnie mu się w tych warunkach pracowało. Dyskusje w kawiarni Szkockiej doprowadziły do rozwiązania niejednego problemu matematycznego.

Ci, którzy Banacha znali, twierdzili, że opublikował jedynie część swoich matematycznych rezultatów, gdyż wciąż miał nowe pomysły i „eksplodował” nowymi ideami. Obok pracy naukowej bardzo aktywnie udzielał się dydaktycznie, wykładał rozmaite przedmioty na Uniwersytecie Jana Kazimierza i Politechnice Lwowskiej. W 1930 roku otrzymał nagrodę naukową miasta Lwowa. W latach trzydziestych publikował kolejne prace naukowe i podręczniki.

W 1939 roku został wybrany prezesem Polskiego Towarzystwa Matematycznego. W czerwcu 1939 przyznano mu prestiżową nagrodę naukową Polskiej Akademii Umiejętności. Nie zdążył jednak odebrać bardzo wysokiej kwoty przelanej już na jego konto, gdyż po wybuchu II wojny światowej konta bankowe zostały zablokowane.

Po zagarnięciu Lwowa przez Związek Radziecki Banach dalej pracował na uniwersytecie, przemianowanym z czasem na ukraiński Uniwersytet im. Iwana Franki. Został powołany na funkcję dziekana Wydziału Matematyczno-Przyrodniczego. Również w 1939 roku wszedł w skład Akademii Nauk Ukraińskiej Socjalistycznej Republiki Radzieckiej jako członek korespondent. W 1940 roku został członkiem Rady Miejskiej Lwowa. W 1941 roku, po wejściu wojsk niemieckich do Lwowa, uniwersytet został zamknięty. Banach żył w bardzo trudnych warunkach, między innymi pracował jako karmiciel wszy w Instytucie Weigla. Gdy po zakończeniu II wojny światowej stało się jasne, że Lwowa nie będzie już w polskich granicach, Banach miał powrócić do Krakowa i objąć specjalnie dla niego utworzoną katedrę na Uniwersytecie Jagiellońskim. Nie zdążył wyjechać ­– zmarł 31 sierpnia 1945 we Lwowie. Jest pochowany na Cmentarzu Łyczakowskim we Lwowie, w grobowcu rodziny Riedlów, w których domu mieszkał przez ostatnie lata życia.

W 1999 roku w Krakowie, przed budynkiem ówczesnego Instytutu Matematyki UJ, odsłonięto popiersie Banacha. W 2016 roku, w setną rocznicę słynnej rozmowy, postawiono na krakowskich Plantach ławkę z figurami Banacha i Nikodyma. Imię Banacha nosi Nagroda Główna Polskiego Towarzystwa Matematycznego, przyznawana od 1946 roku za naukowe osiągnięcia w dziedzinie matematyki, medal przyznawany od 1992 roku przez Polską Akademię Nauk w uznaniu wybitnych zasług dla rozwoju nauk matematycznych oraz Międzynarodowe Centrum Matematyczne, utworzone w Warszawie w 1972 roku. W ponad dwudziestu miastach są ulice Banacha. Podobizny Banacha są umieszczone na polskim znaczku pocztowym wydanym w 1983 roku, kartce pocztowej z 1969 roku oraz na monetach wyemitowanych przez Narodowy Bank Polski w 2012 roku z okazji Europejskiego Kongresu Matematycznego w Krakowie i 120. rocznicy urodzin Banacha: dwuzłotówce, srebrnej dziesięciozłotówce oraz złotej monecie o nominale dwustu złotych.

(Zdjęcie ławki na krakowskich Plantach z figurami Banacha (z prawej) i Nikodyma, autorstwa Stefana Dousy: fot. D.K. Ciesielscy)

Krzysztof Ciesielski